Расчётно-графическая работа

по дисциплине

«Теория систем и системный анализ»

ПРИМЕР ИЕРАРХИЧЕСКОЙ КОМПОЗИЦИИ ПРИОРИТЕТОВ

Задача о выборе школы

Выполнила: студентка 1 курса ЭФ группы ПИб-11 Смирнова С.Ю.

Проверила: канд. физ.-мат. наук, доцент Пайзерова Ф.А.

Йошкар-Ола

Введение. 3

ПРИМЕР ИЕРАРХИЧЕСКОЙ КОМПОЗИЦИИ ПРИОРИТЕТОВ.. 5

Критерии выбора школы.. 6

Метод анализа иерархии Саати. 7

Заключение. 20

Список литературы.. 23

Введение

В данной расчетно-графической работе будем рассматривать метод анализа иерархий.Цель метода анализа иерархий - разработка теории и методологии для моделирования неструктурированных задач в экономике, науке управления и социальных наука.

Метод анализа иерархий представляется более обоснованным путем решения многокритериальных задач в сложной обстановке с иерархическими структурами, включающими как осязаемые, так и неосязаемые факторы, чем подход, основанный на линейной логике. Применяя дедуктивную логику, исследователи проходят трудный путь построения тщательно осмысленных логических цепей только для того, чтобы в итоге, полагаясь на одну лишь интуицию, объединить различные умозаключения, полученные из этих дедуктивных посылок. Кроме того, подход, основанный на логических цепях, может не привести к наилучшему решению, так как в данном случае может быть потеряна возможность принятия компромиссов между факторами, лежащими в разных цепях логического мышления.

Метод анализа иерархий является замкнутой логической конструкцией, обеспечивающей с помощью простых правил анализ сложных проблем во всем их разнообразии и приводящей к наилучшему ответу. К тому же, применение метода позволяет включить в иерархию все имеющееся у исследователя по рассматриваемой проблеме знание и воображение. Это, с моей точки зрения, является балансированным путем решения трудной проблемы: оставить математику простой и позволить богатству структуры нести бремя сложности. Никакая математика не может заменить человеческий ум и опыт интерпретации реального мира. Независимо от того, насколько сложной может быть математика, она всё же не будет отражать все те элементы в проблеме, которые явно существенны для нас.

Сам метод заключается в декомпозиции проблемы на более простые составляющие части и поэтапном установлении приоритетов оцениваемых компонентов с использованием попарных сравнений. На первом этапе выделяются наиболее важные элементы проблемы, на втором – наилучший способ проверки наблюдений испытания и оценки элементов, на третьем – осуществляется выработка способа применения решения и оценка его качества. Весь процесс подвергается проверке и осмыслению до тех пор, пока не будет уверенности, что процесс охватил все важные характеристики, необходимые для предоставления проблемы и ее решения.

ПРИМЕР ИЕРАРХИЧЕСКОЙ КОМПОЗИЦИИ ПРИОРИТЕТОВ

Задача о выборе школы

Был проведен анализ трех школ A , B и C на предмет их желательности с точки зрения ученика 10 класса. Для сравнения были выбраны семь независимых характеристик: учеба, друзья, школьная жизнь, профессиональное обучение, подготовка к ВУЗУ, школьные кружки и питание

На первом уровне – цель – школа.

На втором уровне – 7 критериев, уточняющих цель.

На третьем уровне – 3 альтернативы (разные школы ).

Критерии выбора школы:

1) Учеба (выбор класса с уклоном по желанию: гуманитарный, социально-экономический, универсальный, биолого-химический, информационный и т.д.)

2) Друзья (хорошие отношения с одноклассниками, с друзьями по школе и т.п.)

3) Школьная жизнь (активное участие в жизни класса и школы, активная общественная деятельность, участие в школьном научном обществе)

4) Дополнительное обучение (художественная школа, школа начинающих фотографов, школа начинающих программистов, вождение, курсы повара и многое другое)

5) Подготовка к ВУЗу (элективные курсы, факультативы, центр довузовской подготовки)

6) Школьные кружки (швейный кружок, круг любителей животных, кружок экологов и т.д.)

7) Питание (хорошее питание, столовая, буфет).

После иерархического изображения проблемы возникает вопрос: как установить приоритеты критериев и оценить каждую из альтернатив по критериям, выявив самую важную из них. Когда проблема представлена иерархически составляется матрица для сравнения относительной важности критериев на втором уровне к общей цене на первом. Составим матрицу попарных сравнений для 2 уровня.

Метод анализа иерархии Саати

Целью построений является получение приоритетов элементов на последнем уровне, наилучшим образом отражающих относительное воздействие на вершину иерархии.

После иерархического или сетевого воспроизведения проблемы возникает вопрос: как установить приоритеты критериев и оценить каждую из альтернатив по критериям, выявив самую важную из них?

В МАИ элементы задачи сравниваются попарно по отношению к их взаимодействию на общую для них характеристику. Когда проблемы представлены иерархически, составляется матрица для сравнения относительной важности критериев на втором уровне по отношению к общей цели на первом уровне. Подобные матрицы должны быть построены для парных сравнений каждой альтернативы на третьем уровне по отношению к критериям второго уровня.

Для проведения субъективных парных суждений разработана шкала. Эта шкала оказалась эффективной не только во многих приложениях, ей правомочность доказана теоретически при сравнении со многими другими шкалами.

Шкала относительной важности

Интенсивность относительной важности	Определение	Объяснение
	Равная важность	Равный вклад двух видов деятельности в цель
	Умеренное превосходство одно­го над другим	Опыт и суждения дают легкое превосходство одному виду деятельности над другим
	Существенное или сильное превосходство	Опыт и суждения дают сильное превосходство одному виду дея­тельности вал другим
	Значительно превосходство	Одному виду деятельности дает­ся настолько сильное превос­ходство, что оно становится практически значительным
	Очень сильное превосходство	Очевидность превосходства од­ного вида деятельности над другим подтверждается наиболее сильно
2, 4, 6, 8	Промежуточные решения меж­ду двумя соседними суждения­ми	Применяются в компромиссном случае
Обратные величины, приведенных выше чисел	Если при сравнении одного ви­да деятельности с другим по­лучено одно из вышеуказанных чисел (например 3). то при сравнении второго вида дея­тельности с первым получим обратную величину (т е. 1/3)

Для заполнения матриц по критериям для школ А, Б, В дадим их характеристики:

Теперь перейдем к парным сравнениям элементов на нижнем уровне. Сравниваемые попарно элементы - это воз­можные варианты выбора места отдыха. Получаем семь матриц суждений размерностью 3X3, поскольку имеется семь критериев на вто­ром уровне и три дома, которые попарно сравниваются по каждо­му из критериев. Матрицы вновь содержат суждения студентки. Для того чтобы понять суждения, дадим краткое описание мест отдыха.

Для выявления меры удовлетворения кандидата школой сначала следует перечислить важнейшие критерии, характеризующие школы, и вычислить сравнительную желательность этих критериев для кандидата. Желательность будет меняться от одного кандидата к другому.

Школа А – эта школа для получения качественного образования и хорошей подготовки для поступления в высшее учебное заведение. В школе существует 5 классов с различным уклоном. Меню в столовой предполагает двухразовое питание учащихся. В школе множество различных кружков и секций, что создает в школе дружескую атмосферу и возможность проявить свои таланты в творчестве и спорте.

Школа Б – эта школа активно участвует во всех общественных делах, проводит мероприятия в рамках города. Есть столовая. В этой школе 2 класса с уклонами. Есть кружок экологов. Средняя подготовка к ВУЗу. Нет возможности получить дополнительное образование.

Школа В – эта обычная школа, где можно получить среднее образования, по окончании которого выдается аттестат. Школа участвуют во всех проводимых мероприятиях. Есть столовая. Созданы условия, чтобы классы были дружными. В данной школе нет профильного разделения и все классы универсальные.

Индекс согласованности для каждой матрицы и для всей иерархии можно приближенно вычислить следующим образом:

1) Сначала суммируется каждый столбец суждений.

2) Сумма первого столбца умножается на величину первой компоненты нормализованного вектора приоритетов.

3) Полученные числа суммируются.

Таким образом, получим величину λ max . Для индекса согласованности имеем формулу ИС = , где n - число сравниваемых элементов.

Запишем таблицу средних значений согласованности для случайных матриц разного порядка:

Из группы матриц парных сравнений формируем набор локальных приоритетов, которые выражают относительные влияние множества элементов. Каждая из этих матриц обладает свойством обратной симметричности. Для каждой матрицы необходимо вычислить собственные вектора. Затем нормализовать их к единице, тем самым будет получен вектор приоритетов.

Находим среднее геометрическое, вектор, индекс согласованности, ОС и λ для каждой матрицы:

1) Для первой матрицы УЧЁБА мы нашли:

Учёба	А	Б	В	Вектор	Ср.геом.	λ	ИС:	ОС:
А				0,6370	2,4662	3,0385	0,0193	0,0332
Б	1/3			0,2583	1,0000
В	1/5	1/3		0,1047	0,4055
Cумма S:	1,5333	4,3333	9,0000	1,0000	3,8717

Среднее геометрическое находится по формуле:

А: a= = =2,4662

Б: = =1

В: c = = =0,4055

S(cр.геом.)= a+b+c =2,4662+1+0,4055=3,8717

Вектор находится по формуле:

х1 =a/S=2,4662/3,8717=0,6370

x2=b/S=1/3,8717=0,2583

x3=c/S=0,4055/3,8717=0,1047

1 .

Проверим:

х1+ х2+ х3=0,6370+0,2583+0,1047=1

Чтобы найти λ, нужно сумму столбца А умножить на соответствующий вектор А, сумму столбца Б умножить на соответствующий вектор Б и сумму столбца В умножить на с вектор В:

λ=1,5333* 0,6370+4,3333* 0,2583+0,1047*9=3,0385

ИС = = = =0,0193

n =3- число сравниваемых элементов

ОС = = =0,0332=3%

Чтобы найти случайную согласованность, нужно воспользоваться таблицей. Случайная согласованность, для n=3 равна 0,58.

Остальные матрицы вычисляются аналогично первой матрице.

2) Находим среднее геометрическое, вектор, индекс согласованности, ОС и λ для матрицы для второй матрицы ДРУЗЬЯ :

Друзья	А	Б	В	Вектор	Ср.геом.	λ	ИС:	ОС:
А				0,7450	3,3019	3,0536	0,0268	0,0462
Б	1/6			0,1564	0,6934
В	1/6	1/2		0,0986	0,4368
Cумма S:	1,3333	7,5000	9,0000	1,0000	4,4321

λ= 3,0536

3) Находим среднее геометрическое, вектор, индекс согласованности, ОС и λ для матрицыШКОЛЬНАЯ ЖИЗНЬ:

Школьная жизнь	А	Б	В	Вектор	Ср.геом.	λ	ИС:	ОС:
А		1/3		0,2906	1,1006	3,1356	0,0678	0,1169
Б				0,6046	2,2894
В	1/4	1/4		0,1048	0,3969
Cумма S:	4,2500	1,5833	9,0000	1,0000	3,7869

λ= 3,1356

4) Находим среднее геометрическое, вектор, индекс согласованности, ОС и λ для матрицы ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБУЧЕНИЕ:

Дополни- тельное обучение	А	Б	В	Вектор	Ср.геом.	λ	ИС:	ОС:
А				0,7504	3,4760	3,0999	0,0500	0,0861
Б	1/7		1/3	0,0782	0,3625
В	1/6			0,1713	0,7937
Cумма S:	1,3095	11,0000	7,3333	1,0000	4,6322

λ= 3,0999

5) Находим среднее геометрическое, вектор, индекс согласованности, ОС и λ для матрицы ПОДГОТОВКА К ВУЗу:

Подготовка к ВУЗу	А	Б	В	Вектор	Ср.геом.	λ	ИС:	ОС:
А				0,0953	0,3816	3,0183	0,0091	0,0158
Б	1/3			0,2499	1,0000
В	1/6	1/3		0,6548	2,6207
Cумма S:	10,000	4,333	1,500	1,000	4,002

λ= 3,0183

6) Находим среднее геометрическое, вектор, индекс согласованности, ОС и λ для матрицы ПИТАНИЕ:

Питание	А	Б	В	Вектор	Ср.геом.	λ	ИС:	ОС:
А				0,7396	3,2711	3,0142	0,0071	0,0122
Б	1/5			0,1666	0,7368
В	1/7	1/2		0,0938	0,4149
Cумма S:	1,3429	6,5000	10,0000	1,0000	4,4228

λ= 3,0142

7) Находим среднее геометрическое, вектор, индекс согласованности, ОС и λ для матрицы ШКОЛЬНЫЕ КРУЖКИ:

Школьные кружки	А	Б	В	Вектор	Ср.геом.	λ	ИС:	ОС:
А				0,6738	2,7144	3,0858	0,0429	0,0739
Б	1/5		1/3	0,1007	0,4055
В	1/4			0,2255	0,9086
Cумма S:	1,4500	9,0000	5,3333	1,0000	4,0285

λ= 3,0858

И найдем результаты для последней матрицы n=7

λ= 7,8108

ИС=(7,8108-7)/6=0,1351

ОС=0,1351/1,32=0,1023=10%

Среднее геометрическое находится по формуле в Excel ->функция

f(x)->СРГЕОМ, выделяем каждую строку матрицы и задаем эту функцию, получится результат:

a+b+c+d+e+f+g=9,71

Вектор находится по формуле:

В сумме векторов должна получиться 1 .

n =7- число сравниваемых элементов

CC находим по таблице случайной согласованности, где для n=7 СС=1,32.

Явным лидером по критерию учеба являетсяшкола А .

По критериюшкольная жизнь превосходит остальные учебные заведения школа Б.

Школа В – обычная школа, во многом уступающая от школ А и Б.

Следующим этапом является применение принципа синтеза. Для определения главных приоритетов в матрице локальные приоритеты располагаются по отношению к каждому критерию. Каждый столбец векторов умножается на приоритет соответствующего критерия, и результат складывается вдоль каждой строки.

ШКОЛА	Учёба	Друзья	Школь-ная жизнь	Профес-сиональное обучение	Подго- товка к ВУЗу	Школьные кружки	Пита-ние
	0,4495	0,179	0,1288	0,0693	0,0823	0,0453	0,0458
А	0,637	0,745	0,2906	0,7504	0,0953	0,6738	0,7396
Б	0,2583	0,1564	0,6046	0,0782	0,2499	0,1007	0,1666
В	0,1047	0,0986	0,1048	0,1713	0,6548	0,2255	0,0938

Для школы А имеем : 0,4495*0,637+0,745*0,179+0,2906*0,1288+ +0,7504*0,0693+0,0953*0,0823+0,6738*0,0453+0,7396*0,0458=0,578

Для школы Б имеем : 0,4495*0,2583+0,1564*0,179+0,6046*0,1288+ +0,0782*0,0693+0,2499*0,0823+0,1007*0,0453+0,1666*0,0458=0,262

Для школы В имеем: 0,4495*0,1047+0,0986*0,179+0,1048*0,1288+ +0,1713*0,0693+0,6548*0,0823+0,2255*0,0453+0,0938*0,0458=0,161

Проанализировав данные 3 школ, пришли к выводу, что наиболее перспективной школой для ученика 10 класса является школа А, т.к. эта школа является образцовым для получения качественного образования и хорошей подготовки для поступления в высшее учебное заведение, чем школы Б и В. Хотя школа

Школа А, которая была наименее желательна с точки зрения школьной жизни, оказалась победителем. Именно туда ученик 10 класса и пойдет учиться.

При анализе можно убедиться, что исход не был удивительным, если принять во внимание тот факт, что Школа А превосходила остальные школы по пяти из семи критериев.

Заключение

Конечно, есть моменты, когда могут действовать политические пристрастия, скрытые «домашние заготовки», раскол и другие мотивы. В этом случае взаимодействие и сотрудничество в группе затрудняются. Мы сталкивались с такими пробле­мами на практике при использовании метода анализа иерархии (МАИ). Наше заклю­чение таково, что МАИ является мощным средством для тех, кто хочет оценить как свои стратегии, так и стратегии своих оппонентов. Тех, кто не желает участвовать в процессе, нельзя заставить, однако их иногда можно убедить. Процесс движется быстрее, если участники имеют общие цели, долговременный близкий контакт, работу в климате социального одобрения и одинаковый статус.

Последним замечанием является то, что взаимодействие не похоже на брак, о котором люди склонны иметь романтические представления, однако после вступления в него они сталкиваются с множеством трений, ссор и разногласий. Тем не ме­нее, в общем, жизнь продолжается, и имеются фундаментальные точки согласия и общие потребности, которые удерживают людей друг с другом. Поэтому входить в процесс группового взаимодействия никто не должен со слишком большими надеж­дами и сильным предрасположением к правильности и порядку.

Метод анализа иерархий успешно применялся во многих облас­тях, в частности: при разработке плана распределения энергии в промышленности или проектировании транспортной системы для Судана, в планировании будущего корпорации и измерении фак­торов окружающей среды на ее развитие; при построении сцена­риев высшего образования в США; при выдвижении кандидатов и в процессах выборов.

К сильным сторонам МАИ можно отнести то, что при определении иерархии обычно важную роль также играют знания лиц, производящих суждения для парных сравнений.

Оказалось, что использование МАИ стимулировало повышение уровня знаний о специфических проблемах планирования даже среди людей, которые имеют достаточно обширные познания и опыт в данной конкретной ситуации. Более того, проблема еще больше раскрывается, и накапливаются дополнительные знания.

Подход к измерениям с помощью МАИ допускает определенную степень несогласованности. Группа людей может принять решение при допустимой степени несогласованности для каждого из членов группы. В этом случае они не будут чувствовать, что их предпочте­ния были в значительной степени нарушены.

Метод анализа иерархий основан на следующих аксиомах: парных сравнений, обоснованной шкалы для перевода суждений в числа с помощью парных сравнений и обратносимметричных отношений, гомогенной кластеризации иерархических уров­ней, иерархической композиции путем взвешивания и сложения и, наконец, на аксиоме ожидании, которая отражает соответствие заложенных в иерархию элементов ожидаемым результатам. Из этих аксиом получено несколько теорем, которые превращают МАИ в математически обоснованный подход для получения шкал отно­шений при решении сложных проблем.

Список литературы

1. Саати Т., Керис К. Аналитическое планирование. Организация систем: Пер. с англ – М. Радио и связь, 1991 – 224 с: ил. – ISBN 5-256-0038-1

2. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий. М.: Радио и связь, 1993 – 278 c.

Метод анализа иерархий (МАИ), предложенный Т.Л. Саати, основан на парных сравнениях альтернативных вариантов по различным критериям с использованием девятибалльной шкалы и последующим ранжированием набора альтернатив по всем критериям и целям. Взаимоотношения между критериями учитываются путем построения иерархии критериев и применением парных сравнений для выявления важности критериев и подкритериев.

К основным процедурам метода анализа иерархий относятся следующие:

Генерация множества альтернативных вариантов;

Формирование множества критериев для оценки альтернативных вариантов и представление его в виде иерархии;

Выявление предпочтений экспертов на множестве альтернатив по различным критериям;

Установление относительной важности влияния критериев на общую цель и другие критерии;

Получение ранжированных наборов альтернатив по всем критериям и целям.

Все оценки определяются экспертами. Сначала эксперты генерируется множество допустимых альтернатив, среди которых необходимо провести выбор лучшей альтернативы или упорядочивание всех элементов.

Вершиной иерархий обычно является глобальная цель, на следующих уровнях присутствуют критерии и на самом нижнем уровне - альтернативы.

Иерархическая структура критериев и целей является моделью знаний конкретной предметной области, которая изменяется и уточняется с течением времени.

Элементы одного уровня иерархии попарно сравниваются по силе их влияния на элементы более высокого уровня. Результаты заносятся в матрицу попарных сравнений. При сравнении элемента с самим собой имеем равную значительность «1», т.е. главная диагональ матрицы состоит из единиц. В МАИ используется 9-балльная шкала вида:

Интенсивности относительной важности	Определение	Объяснение
	Равная важность	Равный вклад двух объектов в достижении цели
	Умеренное превосходство одного над другим	Опыт и суждения дают легкое превосходство одному объекту над другим
	Существенное или сильное превосходство	Опыт и суждения дают сильное превосходство одному объекту над другим
	Значительное превосходство	Одному объекту дается настолько сильное превосходство над другим, что оно становится значимым
	Очень сильное превосходство	Очевидность превосходства одного объекта над другим подтверждается наиболее сильно
	Промежуточные значения между двумя соседними суждениями	Принимаются в компромиссных случаях
Обратные величины приведенных чисел	Если при сравнении одного объекта с другим получено одно из вышеуказанных чисел (например 3), то при сравнении второго объекта с первым получим обратную величину (т.е.1/3)

Следующий шаг состоит в вычислении вектора приоритетов по данной матрице. Существует несколько методов оценки этого вектора. Например, суммировать элементы каждой строки матрицы и нормировать делением каждой суммы на сумму всех элементов матрицы. Первый элемент результирующего вектора будет приоритетом первого объекта, второй - второго объекта и т.д.

В общем случае (при наличии более трех уровней) иерархия оценивается следующим образом:

1. Производится попарное сравнение элементов 2-го уровня по степени влияния на выполнение цели. Результаты заносятся в матрицу попарных сравнений A 1 ;

2. Производится попарное сравнение элементов 3-го уровня по степени влияния на каждый критерий 2-го уровня. Результаты заносятся в n 1 (n 1 - количество критериев) матриц попарных сравнений A 11 ...A n1 ;

3. Действия п.2 повторяются для всех оставшихся уровней (если они есть);

4. Для каждой матрицы вычисляется вектор приоритетов;

5. Каждый элемент вектора приоритетов 2-го уровня умножается на соответствующий элемент вектора приоритетов каждой из матриц (A 11 ...A n1). После сложения всех произведений получается вектор приоритетов 3-го уровня;

6. Действия п.5 выполняются для всех оставшихся уровней.

В результате получается вектор приоритетов n-го уровня по степени влияния на выполнение цели.

Уровень цели

5. Месторасположение

4. Коллектив

2. Интересно

Уровень критериев Вектор приоритетов (0,4; 0,15; 0,25; 0,1; 0,1)

Уровень альтернатив

Матрицы попарных сравнений альтернатив имеют вид (всего их 5 – по количеству критериев, для каждого критерия своя матрица):

Векторы приоритетов альтернатив:

По критерию 1 – (0,5; 0,3; 0,2)

По критерию 2 – (0,4; 0,4; 0,2)

По критерию 3 – (0,3; 0,3; 0,4)

По критерию 4 – (0,2; 0,3; 0,5)

По критерию 5 – (0,1; 0,3; 0,6)

По влиянию на цель – (0, 365; 0,315; 0,31) Выбирается альтернатива А

0,4×0,5+0,15×0,4 + 0,25×0,3 + 0,1×0,2 + 0,1×0,1 = 0,365

0,4×0,3+ 0,15×0,4+ 0,25×0,3+ 0,1×0.3+ 0,1×0,3 = 0,315

0,4×0,2+ 0,15×0,2+ 0,25×0,4+ 0,1×0,5+0,1×0,6 = 0,32

В рамках МАИ нет общих правил для формирования структуры модели принятия решения. Это является отражением реальной ситуации, поскольку всегда для одной и той же проблемы имеется целый спектр мнений. Метод позволяет учесть это обстоятельство с помощью построения дополнительной модели для согласования различных мнений, посредством определения их приоритетов . Таким образом, метод позволяет учитывать «человеческий фактор» при подготовке принятия решения. Это одно из важных достоинств данного метода перед другими методами принятия решений.

Формирование структуры модели принятия решения в МАИ достаточно трудоемкий процесс. Однако в итоге удается получить детальное представление о том, как именно взаимодействуют факторы, влияющие на приоритеты альтернативных решений, и сами решения. Как именно формируются рейтинги возможных решений и рейтинги, отражающие важность факторов.

В рамках МАИ нет средств для проверки достоверности данных. Этот недостаток ограничивает отчасти возможности применения метода. Однако метод применяется главным образом в тех случаях, когда в принципе не может быть объективных данных, а ведущими мотивами для принятия решения являются предпочтения людей.

Работа по подготовке принятия решений часто является слишком трудоемкой для одного человека. Однако применение метода позволяет разбить большую задачу, на ряд малых самостоятельных задач. Благодаря этому для подготовки принятия решения можно привлечь экспертов, работающих независимо друг от друга над локальными задачами.

Метод дает только способ рейтингования альтернатив, но не имеет внутренних средств для интерпретации рейтингов, т.е. считается, что ЛПР, зная рейтинг возможных решений, должен в зависимости от ситуации сам сделать вывод. Это следует признать недостатком метода.

Метод дает удобные средства учета экспертной информации для решения различных задач. Он отражает естественный ход человеческого мышления и дает не только способ выявления наиболее предпочтительного решения, но и позволяет количественно выразить степень предпочтительности по средством рейтингования. Это способствует полному и адекватному выявлению предпочтений ЛПР. Кроме того, оценка меры противоречивости использованных данных позволяет установить степень доверия к полученному результату.

Примечание. Упомянутая в 2.3.2 схема оценки альтернативы по совокупности оценок ее эффективности для множества частных критериев может использоваться в рамках других МПР как самостоятельный алгоритм принятия решения на основе линейной свертки оценок по частным критериям:

1. Для каждой допустимой альтернативы A 1 ,…,A n оценить степень удовлетворения ею каждого из частных критериев К 1 ,…,К m в единой балльной шкале. В результате получаем матрицу оценок вида

с 11 ,…,с 1 m

с n 1 ,…,с nm

где с ij , 1≤i≤n, 1≤j≤m – оценка степени выполнения критерия К j в случае выбора альтернативы A i

2. Оценить относительную важность (построить веса) критериев

3 Для каждой из альтернатив A i , i=1,…,n оценить степень удовлетворения ею общей цели ЗПР как взвешенное среднее вида

3 В качестве решения выбрать ту альтернативу, которой соответствует максимальная оценка

2.3.3 Нечеткое множество и функция принадлежности

Построение моделей автоматизации процесса принятия решений для задач управления на основе экспертной информации, имеющих нечеткое описание, базируется на понятиях «нечеткое множество» и «лингвистическая переменная».

2.3.3.1 Коротко остановимся на понятии лингвистической переменной. Не вдаваясь в тонкости, ее можно определить как переменную, значениями (термами) которой являются не числа, а слова или предложения естественного (или формального) языка. Например, лингвистическая переменная "возраст" может принимать следующие значения: очень молодой, молодой, среднего возраста, старый, очень старый и другие - в зависимости от требуемой степени детальности описания. Ясно, что переменная "возраст" будет обычной переменной, если ее значения - точные числа; лингвистической она становится будучи использована в нечетких рассуждениях человека.

Каждому терму лингвистической переменной соответствует определенное нечеткое множество со своей функцией принадлежности, которая описывает совместимость этого терма с различными числовыми значениями.

Пример возможного соответствия значений лингвистической переменной «оценка» количественным интервальным значениям

Более детально с понятием лингвистической переменной и многочисленными примерами можно познакомиться в книге Заде, Л.А. Понятие лингвистической переменной и его применение к понятию приближенных решений / Л.А. Заде. – М.: Мир, 1976.

2.3.3.2 В обычной теории множеств существуют несколько способов задания множества. Одним из них является задание с помощью характеристической функции, определяемой следующим образом. Пусть U - так называемое универсальное множество, из элементов которого образованы все остальные множества, рассматриваемые в настоящей задаче, например множество всех целых или действительных чисел и т.д. Характеристическая функция подмножества A  U - это функция mA, значения которой указывают, является ли элемент x из U элементом множества A. В классической теории множеств эта функция принимает два значения: mA(х)=0 (х не является элементом А) и mA(х)=1 (х является элементом А).

С точки зрения характеристической функции нечеткие множества являются естественным обобщением обычных множеств, когда мы отказываемся от бинарного характера этой функции и предполагаем, что она может принимать любые значения из отрезка . В теории нечетких множеств характеристическая функция называется функцией принадлежности , а ее значение mA(x) - степенью принадлежности элемента x нечеткому множеству A.

В результате нечеткое множество определяется набором пар {(x; mA(x))}, где mA - функция принадлежности

Например, запись A = {(a; 0), (b; 0,1), (c; 0,5), (d; 0,9), (e; 1)} может трактоваться следующим образом: элемент a не принадлежит множеству A, элемент b принадлежит ему в малой степени, элемент c более или менее принадлежит, элемент d принадлежит в значительной степени, e является элементом A.

Потребность в таких множествах часто возникает при рассмотрении плохоформализуемых свойств и понятий. Например, как формализовать понятие «молодой человек». Не будешь же людей младше 25 четко причислять к числу молодых, а людей старше 25 четко не причислять к молодым. Если через М обозначить множество молодых людей, то разумнее, например, принять градацию типа mМ(x)=1 для людей младше 25 лет, mМ(x)=0,8 для людей младше 30 лет, mМ(x)=0 для людей старше 50 лет и т.д.

Конкретный вид функций принадлежности определяется на основе различных дополнительных предположений о свойствах этих функций (симметричность, монотонность, непрерывность первой производной и т.д.) с учетом специфики имеющейся неопределенности, реальной ситуации на объекте и числа степеней свободы в функциональной зависимости. Вид данной функции носит в значительной мере субъективный характер. Уменьшить степень этой субъективности можно, используя метод экспертных оценок, суть которого состоит в том, что как вид функции принадлежности, так и значения соответствующих параметров являются результатом коллективного творчества группы специалистов в рассматриваемой области - экспертов.

Во многих практических ситуациях функция принадлежности должна быть оценена исходя из частичной информации о ней, скажем такой, как значения, принимаемые ею на конечном множестве опорных точек х 1 ,...,х n . В этом случае говорят, что она частично определена с помощью "поясняющего примера".

На рис. приведены все основные виды функций принадлежности, применяемые в теории нечетких множеств.

Рис.4.1. Примеры различных способов построения функций принадлежности.

Рисунок – Классификация методов построения функций принадлежности нечетких множеств

Прямые методы характеризуются тем, что эксперт непосредственно задает правила определения значений функции принадлежности μ А (х), характеризующей элемент х.

Эти значения согласуются с его предпочтениями на множестве элементов Х следующим образом:

1. Для любых х 1 , х 2 Î Х μ А (х 1) < μ А (х 2) тогда и только тогда, когда х 2 предпочтительнее х 1 , т.е. в большей степени характеризуется свойством А;

2. Для любых х 1 , х 2 Î Х μ А (х 1) = μ А (х 2) тогда и только тогда, когда х 1 и х 2 безразличны относительно свойства А.

Как правило, прямые методы задания функции принадлежности используются для измеримых понятий, таких как скорость, время, расстояние, давление, температура и т.д., или когда выделяются полярные значения.

Разновидностями прямых методов являются прямые групповые методы , когда, например, группе экспертов предъявляют конкретный объект, и каждый должен дать один из двух ответов: принадлежит или нет этот объект к заданному множеству. Тогда число утвердительных ответов, деленное на общее число экспертов, дает значение функции принадлежности объекта к данному нечеткому множеству.

Прямыми методами являются также непосредственное задание функции принадлежности таблицей, графиком или формулой.

Из анализа результатов исследований и решения практических задач, связанных с необходимостью обрабатывать информацию, известно, что прямые методы в основном используются в качестве вспомогательных, т. к. характеризуются большой долей субъективизма.

Косвенные методы построения значений функции принадлежности используются в случаях, когда нет элементарных измеримых свойств, через которые определяются нечеткие множества.

В косвенных методах значения функции принадлежности выбираются таким образом, чтобы удовлетворить заранее сформулированным условиям . Экспертная информация является только исходной информацией для дальнейшей обработки. Дополнительные условия могут налагаться как на вид получаемой информации, так и на процедуру ее обработки. К таким методам относятся статистический метод, метод парных сравнений, метод экспертных оценок и ряд других. Например, метод построения функции принадлежности на основе парных сравнений основан на обработке матриц оценок, отражающих мнение эксперта об относительной принадлежности элементов множеству или степени выраженности у них свойства, формализуемого множеством. Метод статистических данных основан на обработке статистической информации. В качестве степени принадлежности элемента множеству принимается оценка частоты использования понятия, задаваемого нечетким множеством, для характеристики элемента.

На универсальной шкале необходимо разместить значения лингвистической переменной: ОЧЕНЬ МАЛО, МАЛО, СРЕДНЕ, МНОГО, ОЧЕНЬ МНОГО. Тогда степень принадлежности некоторого значения вычисляется как отношение числа экспериментов, в которых оно встречалось в определенном интервале шкалы, к максимальному для этого значения числу экспериментов по всем интервалам . Метод основывается на условии, что в каждый интервал шкалы попадает одинаковое число экспериментов. Это условие часто не соблюдается. В реальных случаях составляется эмпирическая таблица, в которой эксперименты могут быть распределены неравномерно по интервалам, а в некоторые интервалы могут вообще не попасть.

Данный метод может быть использован для формализации задачи выбора альтернатив, т. к. эксперты могут определить конкретное множество допустимых альтернатив и удалить не нужные. В данном случае оценки отдельных экспертов можно рассматривать как независимые реализации случайной величины.

Построение функции принадлежности на основе экспертных оценок - данный метод построения функций принадлежности основан на использовании нечетких чисел, приблизительно равных некоторому четкому числу, и приближенных интервальных оценок, отражающих мнения экспертов по рассматриваемому вопросу. Задача сводится к отысканию параметров заранее заданной (экспоненциальной) функции, при решении которой используются результаты экспертного опроса. Этот метод часто целесообразнее всего использовать при решении задач выработки и оценки альтернатив.

Построение функций принадлежности на основе интервальных оценок. Данный метод применяется для формализованного представления задач выбора, в которых отсутствует четкая грань между допустимым и недопустимым (в пространстве неуправляемых параметров) и между идеальным и неудовлетворительным состояниями (в пространстве критериев).

Для решения задач подобного рода в аналитическом планировании широко применяется метод анализа иерархий (далее МАИ), разработанный Т.Саати. Сегодня его используют уже повсеместно от риэлтеров, при оценке недвижимости, до кадровиков, при замещении вакантных должностей. Воспользуемся этим методом и мы для выбора хостинг-провайдера.

Первым этапом применения МАИ является структурирование проблемы выбора в виде иерархии или сети. В наиболее элементарном виде иерархия строится с вершины (цели), через промежуточные уровни-критерии (технико-экономические параметры) к самому нижнему уровню, который в общем случае является набором альтернатив (хостинг-провайдеров в нашем случае).

После иерархического воспроизведения проблемы устанавливаются приоритеты критериев и оценивается каждая из альтернатив по критериям. В МАИ элементы задачи сравниваются попарно по отношению к их воздействию на общую для них характеристику. Система парных сведений приводит к результату, который может быть представлен в виде обратно симметричной матрицы. Элементом матрицы a(i,j) является интенсивность проявления элемента иерархии i относительно элемента иерархии j, оцениваемая по шкале интенсивности от 1 до 9, предложенной автором метода, где оценки имеют следующих смысл:

Если при сравнении одного фактора i с другим j получено a(i,j) = b , то при сравнении второго фактора с первым получаем a(j,i) = 1/b.

Опыт показал, что при проведении попарных сравнений в основном ставятся следующие вопросы. При сравнении элементов А и Б:

• Какой из них важнее или имеет большее воздействие?
• Какой из них более вероятен?
• Какой из них предпочтительнее?

Относительная сила, величина или вероятность каждого отдельного объекта в иерархии определяется оценкой соответствующего ему элемента собственного вектора матрицы приоритетов, нормализованного к единице. Процедура определения собственных векторов матриц поддается приближению с помощью вычисления геометрической средней.

Пусть:
A 1 ...A n - множество из n элементов;
W 1 ...W n - соотносятся следующим образом:

	A 1	...	A n
A 1	1	...	W 1 /W n
...	...	1	A n
A n	W n /W 1	...	1

Оценка компонент вектора приоритетов производится по схеме:

	A 1	...	A n
A 1	1	...	W 1 /W n	X 1 =(1*(W 1 /W 2)*...*(W 1 /W n)) 1/n	BEC(A 1)=X 1 /СУММА(X i)
...	...	1	A n	...	...
A n	W n /W 1	...	1	X n =((W n /W 1)*...*(W n /W n-1)*1) 1/n	BEC(A n)=X n /СУММА(X i)
				СУММА(X i)

Приоритеты синтезируются начиная со второго уровня вниз. Локальные приоритеты перемножаются на приоритет соответствующего критерия на вышестоящем уровне и суммируются по каждому элементу в соответствии с критериями, на которые воздействует элемент.

Весьма полезным побочным продуктом теории является так называемый индекс согласованности (ИС), который дает информацию о степени нарушения согласованности. Вместе с матрицей парных сравнений мы имеем меру оценки степени отклонения от согласованности. Если такие отклонения превышают установленные пределы, то тому, кто проводит суждения, следует перепроверить их в матрице.

ИС = (l max - n)/(n - 1)

Для наших матриц всегда l max і n.

Теперь сравним эту величину с той, которая получилась бы при случайном выборе количественных суждений из нашей шкалы, и образовании обратно симметричной матрицы. Ниже даны средние согласованности для случайных матриц разного порядка.

Если разделить ИС на число, соответствующее случайной согласованности матрицы того же порядка, получим отношение согласованности (ОС). Величина ОС должна быть порядка 10% или менее, чтобы быть приемлемой. В некоторых случаях допускается ОС до 20%, но не более, иначе надо проверить свои суждения.

Г.А. КАЛАБУХОВ, заместитель руководителя Управления Федерального агентства кадастра объектов недвижимости по Воронежской области, кандидат экономических наук наук

Ю.Н. ГАЛКИНА, заместитель начальника отдела формирования, инвентаризации, организации ведения кадастра и оценки объектов недвижимости Управления Федерального агентства кадастра объектов недвижимости по Воронежской области, доцент кафедры экономика строительства Воронежского государственного архитектурно строительного университета, кандидат экономических наук

Процессы принятия решений в различных сферах деятельности бывают во многом аналогичны. Кроме того, во многом схожи и сопутствующие проблемы. Поэтому необходим метод, позволяющий по универсальным правилам оказывать поддержку принятия решений и соответствующий естественному ходу мышления лиц, принимающих решения. Обобщая опыт принятия решений в экономике, социальной сфере, на производстве и в других сферах человеческой деятельности , можно высказать ряд эмпирических требований к свойствам метода, призванного обеспечить поддержку процесса принятия решения.

1. Метод должен соответствовать естественному ходу человеческого мышления. Следует иметь в виду, что математические способы, положенные в основу метода, не должны заменять человеческий ум и опыт в интерпретации реального мира.

2. Метод должен служить универсальной систематической основой принятия решения, позволяющей ставить процесс принятия решений на поток.

3. Метод должен позволять решать проблему принятия решений с учетом ее реальной сложности и других сопутствующих проблем.

4. Метод должен предполагать обоснованный и понятийный способ рейтингования возможных решений. Иначе процесс принятия решений может носить неопределенный характер, а потенциальные возможности могут оказаться нереализованными.

5. Метод должен учитывать как имеющуюся количественную информацию, так и качественную информацию о предпочтениях лица принимающего решения, что чрезвычайно важно для экономики, управления, социальной сферы.

6. Метод должен учитывать тот факт, что часто (особенно для масштабных задач) имеется множество решений. Как следствие несистематический процесс принятия решений несет в себе неопределенность, сказывающуюся на качестве решений. Кроме того, для выбора лучшего решения далеко не всегда удается построить логическую цепочку рассуждений, когда из двух вариантов можно выбрать только один и компромиссы недопустимы. Поэтому для обеспечения ясности необходим механизм количественного ранжирования (установки приоритетов) для возможных решений.

7. Метод должен учитывать тот факт, что, как правило, имеется множество мнений и стилей принятия решения. В процессе выработки единого решения возможны конфликты. Поэтому нужны механизмы достижения согласия.

Для реального процесса подготовки принятия решения необходимо решить следующие задачи.

1. Выявить наиболее противоречивые этапы создания модели для поддержки принятия решения:

а) является ли рассматриваемый набор решений полным;

б) учтены ли все группы факторов, влияющих на выбор наиболее приоритетного решения;

в) определены ли существенные влияния главного критерия, факторов и альтернатив друг на друга;

г) известны ли сравнительные оценки того, как сильно влияют главный критерий, факторы и альтернативы друг на друга, имеются ли противоречия в оценках;

д) имеются ли альтернативные мнения по рассматриваемой проблеме, насколько они различаются.

2. Разбить большую задачу о принятии решения на ряд малых задач (провести анализ), что позволит распределить работу по подготовке принятия решения. Представить в понятной форме схему взаимодействия факторов, влияющих на формирование приоритетов решений, и самих решений (провести синтез), т. е. составить схему задачи принятия решения.

3. Оценить и минимизировать противоречивость данных, использующихся для определения приоритетов рассматриваемых решений.

4. Предварительно установить условия, при которых по найденному рейтингу приоритетов возможных решений можно сделать выбор лучшего решения.

5. Выяснить, все ли мыслимые варианты решений и факторов, влияющих на выбор решений, являются существенными или некоторые из них можно не рассматривать. Это весьма важно в ситуациях, когда рассматриваются проблемы большого масштаба или проблемы стратегического планирования.

6. Оценить устойчивость данных, полученных в результате применения метода анализа иерархий. В реальной ситуации практически невозможно гарантировать, что имеющиеся данные или представления о проблеме являются абсолютно точными. Поэтому необходимо проверить в какой мере изменяются приоритеты решений, если данные или схема принятия решения претерпят незначительные изменения.

7. Учесть, что обычно по рассматриваемой проблеме имеется множество мнений. Это приводит к необходимости выбора решения при наличии нескольких реальных схем принятия решения и нескольких наборов правдоподобных данных.

8. Организовать числовую обработку имеющейся качественной информации.

В рамках метода анализа иерархий нет общих правил для формирования структуры модели принятия решения. Это является отражением реальной ситуации принятия решения, поскольку всегда для одной и той же проблемы имеется спектр мнений. Метод позволяет учесть это обстоятельство с помощью построения дополнительной модели для согласования различных мнений, с помощью определения их приоритетов. Таким образом, метод позволяет учитывать человеческий фактор при подготовке принятия решений.

Формирование модели принятия решения в методе анализа иерархий - достаточно трудоемкий процесс. Сбор данных для поддержки принятия решения осуществляется главным образом с помощью процедуры парных сравнений. Результаты парных сравнений могут быть противоречивыми. Метод предоставляет большие возможности для выявления противоречий в данных. При этом возникает необходимость пересмотра данных для минимизации противоречий. Процедура парных сравнений и процесс пересмотра результатов сравнений часто являются трудоемкими. Однако в итоге лицо, принимающее решение, приобретает уверенность в том, что используемые данные и результаты являются вполне приемлемыми.

Схема метода совершенно не зависит от сферы деятельности, в которой принимается решение. Поэтому метод является универсальным, его применение позволяет организовать систему поддержки принятия решения. Модель, составляемая с помощью метода анализа иерархий, всегда имеет кластерную структуру. Метод позволяет разбить большую задачу на ряд малых самостоятельных задач. Благодаря этому для подготовки принятия решения можно привлечь экспертов, работающих независимо друг от друга над локальными задачами.

Данный метод предоставляет удобные средства учета экспертной информации для решения различных задач, в том числе для оценки земельных участков. Метод отражает естественный ход человеческого мышления. Он не только позволяет выявить наиболее предпочтительное решение, но и количественно выразить степень предпочтительности посредством рейтингового метода.

Условия обоснованного применения метода

1. Важным требованием, обеспечивающим обоснованность использования метода, является квалифицированность экспертов, принимающих участие в создании структуры модели принятия решения, подготовке данных и в интерпретации результатов, т. е. их способность давать правильную, непротиворечивую информацию. Эксперт должен быть осведомлен о степени развития земельного рынка, ориентироваться в ценовых приоритетах. Во многом обоснованность решения, принятого в результате оценки земельного участка с помощью иерархического анализа, связана:

а) с полнотой учета факторов, влияющих на формирование стоимости земельного участка;

б) с полнотой учета связей между целью оценки, факторами и возможными вариантами оценки;

в) с адекватностью формулировок критериев для парных сравнений тем целям, которые преследуют ся для построения модели оценки.

2. Модели, основанные на строгом иерархическом принципе, являются полилинейными и предполагают использование взвешенного суммирования для вычисления приоритетов в оценке земельного участка. При этом взаимная зависимость однотипных факторов, от которых зависят приоритеты решений, выясняется или путем парных сравнений, или не учитывается вовсе (например, доступность общественного транспорта или количество видов общественного транспорта для земель под жилую застройку). Таким образом, если учитываются сильно коррелирующие факторы, то соответствующая модель должна как минимум иметь обратные связи. Учет обратных связей позволяет установить опосредованные связи между однотипными факторами (через факторы других типов). Метод наиболее подходит для случаев, когда основная часть данных основана на предпочтениях лица, принимающего решения, т е. потенциального покупателя для данного земельного участка.

3. Результаты, полученные с помощью иерархических моделей (без обратных связей), являются статичными.

4. Сбор данных об оцениваемом и сравниваемых земельных участках и минимизация содержащихся в них противоречий могут подчас проводиться долго. При этом может оказаться, что в наборе данных не явно учитывается их разброс во времени (например, типичные земельные участки были проданы задолго до даты оценки). Это обстоятельство может привести к искажению результатов при моделировании быстро меняющихся ситуаций. Метод дает более реалистичные результаты при моделировании медленно меняющихся ситуаций, для принятия стратегических решений.

В методе анализа иерархий нет строгих правил создания моделей принятия решения. Вопрос о том, в какой мере модель соответствует ситуации принятия решения, остается открытым. Метод анализа иерархий позволяет лишь систематизировать процесс принятия решений, упорядочить процесс извлечения знаний из имеющейся информации. Поэтому для создания моделей принятия решения нужны опытные специалисты. Степень доверия к результатам, полученным с помощью метода анализа иерархии, часто совпадает со степенью доверия к экспертам, принимавшим участие в конструировании структуры модели, и сборе данных.

Существует следующая последовательность действий при оценке земельного участка с помощью метода анализа иерархий.

1. Определение набора возможных (альтернативных) решений и цели оценки (например, для продажи, для залога и т. п.).

2. Определение групп факторов, оказывающих влияние на формирование стоимости земельного участка.

3. Формирование уровней: первый (вершина) - главная цель (главный критерий) оценки; нижний - возможные варианты оценки (стоимости сравниваемых земельных участков); промежуточные - группы однотипных факторов, влияющих на оценку (месторасположение, транспортная доступность и т. п.). Сформированная многоуровневая структура модели дает предварительное представление о рейтинговом методе решений. На ней показаны узлы (цель, факторы, решения), сгруппированные по типам.

4. Выяснение структуры влияния между целью, факторами и решениями. При этом вначале необходимо выделить пары уровней, один из которых оказывает влияние на другой. Затем выяснить, между какими именно узлами выделенных уровней есть связи.

5. Анализ кластерной структуры модели принятия решения. При необходимости внесение корректив: добавление/удаление узлов и связей.

6. Внесение данных для кластеров: проведение сравнения для узлов каждого кластера и для кластеров, имеющих общую вершину или введение соответствующих векторов приоритетов.

7. Оценка качества данных (достаточность, согласованность, достоверность). При необходимости корректирование данных.

Если оказывается, что в масштабе модели данные недостаточно согласованы или недостаточно достоверны, целесообразно провести выборочное корректирование данных.

После того, как построена схематическая структура модели, отражающая ситуацию оценки, необходимо провести анализ структуры. При этом главным образом рассматриваются всевозможные пути, образованные связями. Эти пути, как правило, направлены от вершины модели (цель оценки) через узлы промежуточных уровней (через факторы, влияющие на стоимость земельного участка) к узлам нижнего уровня (к альтернативам). Т. е. каждый путь соответствует отдельной логической цепочке выбора альтернативы.

После того, как сформирована, проанализирована и откорректирована структура модели принятия решения, она наполняется данными. Готовая структура модели (все узлы, сгруппированные в уровни, и направленные связи между ними) всегда рассматривается как система кластеров. В соответствии с этим существуют два вида данных: данные для узлов кластера, данные для кластеров, подчиненных одному узлу (имеющих общую вершину). Оба вида данных можно получить, задав напрямую соответствующие векторы приоритетов, или с помощью парных сравнений. В последнем случае по результатам парных сравнений методом собственного вектора рассчитываются векторы приоритетов. Таким образом, подготовка данных связана с выбором того или иного способа получения данных. Каждый из них имеет свои достоинства и недостатки. Процедуры сравнения для кластеров с общей вершиной и для узлов одного кластера не имеют принципиальных различий.

Схема процедуры сравнений

1. Дан ряд однотипных земельных участков (кластеры с общей вершиной или узлы одного кластера).

2. Задан критерий сравнения объектов (формулировка критериев для парных сравнений связана с названием вершины, в нашем случае, по стоимости).

3. Подбор шкал для проведения сравнений.

4. Выбор способа сравнений.

5. Подбор определенного количества пар объектов. В градациях выбранной шкалы для каждой пары необходимо отметить, в какой мере один узел предпочтительнее другого по заданному критерию сравнения. Независимо от вида шкалы результаты парных сравнений имеют числовое выражение. Числовой результат парного сравнения двух объектов интерпретируется как экспертная оценка отношения их приоритетов (весов).

6. При необходимости парным сравнениям ставится в соответствие процентная оценка достоверности.

7. На основе результатов сравнений построение матрицы сравнений.

8. Соблюдение условия , или вычисление вектора приоритетов сравниваемых объектов. В результате применения традиционного способа сравнений оказывается заполненной наддиагональная часть матрицы (i≤j). Поддиагональную часть матрицы сравнений заполняем отношениями обратной симметрии вида

9. В результате применения способа сравнения обычно оказывается, что в матрице заполнена первая строка (известны элементы i-го вида). Построение первого столбца матрицы сравнений осуществляется способом отношений обратной симметрии. Деление каждого элемента полученного столбца на сумму его элементов и получение искомого вектора приоритетов.

10. Вычисление среднего значения достоверности проведенных сравнений и относительной согласованности сравнений, характеризующей степень их противоречивости.

11. Если сравнения признаны недостаточно согласованными или недостаточно достоверными, то проводится корректирование сравнений.

Показатели согласованности для системы в целом

Допустим, пронумерованы все уровни и узлы каждого уровня. Тогда каждому узлу можно поставить в соответствие пару натуральных чисел (i, j), где i - номер уровня, которому принадлежит данный узел; j - порядковый номер данного узла в уровне. Каждому кластеру можно поставить в соответствие три натуральных числа (i, j, k), где i - номер уровня, которому принадлежит вершина кластера; j - порядковый номер узла вершины данного кластера в уровне; k - номер уровня, в котором находится кластер. В этом случае вершине модели соответствует значение (1,1). Обозначим: - индекс согласованности для кластера (i, j, k), ( = 0, если для кластера (i, j, k) вектор приоритетов получен без проведения сравнений или с помощью способа сравнений с эталоном); &ndash случайный индекс для кластера (i, j, k).

Относительная согласованность для кластера (i, j, k) (если - индекс согласованности узла (i, j) без учета его приоритета в модели. Вклад набора данных для кластера (i, j, k) определяется показателями . Эти показатели можно использовать для определения кластеров, которые вносят наибольший вклад в противоречивость данных в масштабах всей модели. После этого проведение процедуры согласования можно построить по выборочному принципу. Уменьшение при изменении данных (например, при реализации процедуры согласования) свидетельствует об уменьшении противоречий в данных. При этом: а) повышается устойчивость результатов по отношению к малым изменениям данных или к незначительным изменениям структуры модели, б) уменьшаются искажения, возникающие при вычислении методом собственного вектора приоритетов узлов кластеров.

Оценка стоимости земельного участка методом иерархий относится к одной из разновидностей массовой оценки, в основе которой лежит принцип сравнения заданного земельного участка с типичными, уже проданными земельными участками.

Оценка какого-либо конкретного земельного участка - очень трудоемкая работа. Для определения стоимости методом анализа иерархий выбраны шесть незастроенных земельных участков, предоставленных для индивидуального жилищного строительства из земель поселений. Шесть земельных участков были проданы в период с 8 по 15 января 2005 г. Данные для расчета стоимости незастроенного земельного участка приведены в таблице 1.

Таблица 1

Исходные данные для расчета стоимости незастроенного земельного участка методом иерархий

Цель - определение стоимости предложенного земельного участка. Каждый из вариантов имеет свои преимущества и недостатки. Прежде всего рассматривается сочетание стоимости и комфорта. Следовательно, главными критериями первой иерархии являются стоимость и комфорт. Приоритеты между критериями устанавливаются по степени их влияния на выбор варианта. В данном случае предполагается, что стоимость и комфорт имеют равные приоритеты. Выбор можно представить в виде иерархии, которая состоит из уровней: выбор, критерии, варианты. Стрелки (связи) означают влияние одного узла на узел в другом уровне (рисунок 1).

Рисунок 1 – Основная иерархия оцениваемого варианта

Внешний комфорт жилого помещения, которое будет построено на данном земельном участке, складывается из престижности района, доступности общественного транспорта и близости остановки, расположения дома. Поэтому внешний комфорт для земельного участка можно представить в виде иерархии (рисунок 2).Рисунок 7 – Иерархия числа видов транспорта

Рисунок 8 – Иерархия общего числа маршрутов

Иерархия стоимости земельных участков представлена на рисунке 9.

Рисунок 9 – Иерархия стоимости земельных участков

Приоритеты между критериями устанавливаются по степени их влияния на выбор варианта. Развитость инфраструктуры можно представить в виде следующей иерархии (рисунок 10).

Рисунок 10 – Иерархия развитости инфраструктуры

На основе заданных характеристик земельных участков строим матрицу сравнений или вычисляем вектор приоритетов сравниваемых земельных участков. В результате применения традиционного способа сравнений оказывается заполненной наддиагональная часть матрицы (i≤j). Поддиагональную часть матрицы сравнений заполняем по способу отношений обратной симметрии. Первый столбец матрицы сравнений строим таким же образом. Затем делим каждый элемент полученного столбца на сумму его элементов и получаем искомый вектор приоритетов.

В итоге, после проведенных расчетов выполняется процедура сравнений. Результатом расчетов являются итоговые приоритеты для иерархии лучший вариант для покупателя и иерархии стоимость (таблица 2).

где - стоимость каждого из сравниваемых земельных участков; - итоговые приоритеты (коэффициенты).

Таблица 2

Расчет стоимости незастроенного земельного участка

Основные выводы

Имеется три стандартных метода оценки недвижимости: затратный, доходный и сравнения продаж, которые не дают возможности провести однозначную оценку недвижимости, поэтому в работе была предпринята попытка построения синтетического метода оценки недвижимости на базе метода анализа иерархий. Основное применение метода - поддержка принятия решений посредством иерархической композиции задачи и рейтингового метода альтернативных решений. Имея в виду это обстоятельство, можно перечислить возможности данного метода. Метод позволяет:

• унифицировать и заменить работу экспертов-оценщиков, а также понизить издержки на выплату заработной платы высококвалифицированным специалистам в риэлторских конторах, агентствах недвижимости;
• строить модели экспертного консилиума для оценки недвижимости, а также дополнительные иерархии для оценки компетентности экспертов;
• решать многокритериальные задачи оценки, устанавливать различные веса приоритетов и находить общую целевую функцию оцениваемого объекта;
• использовать процедуру для вычисления таких сложных характеристик, как отношение выгоды к затратам.

Таким образом, в методическом отношении наибольший интерес представляет массовая оценка всей территории города или крупной его части, процедурно предшествующая индивидуальной оценке и осуществляемая с помощью тех средств, которыми располагает коллектив специалистов, выполняющий массовую оценку. Индивидуальная оценка должна проводиться на основе массовой оценки. В ней принимает участие большое число специалистов, выполняющих оценочные работы по каждому земельному участку в отдельности (в крупном городе таких участков несколько десятков тысяч).

Список литературы

1. Гасилов В.В., Галкина Ю.Н. Моделирование процессов формирования рынка земельных ресурсов в Воронежской области. Современные сложные системы управления// Материалы междунар. науч. конф. - Старый Оскол, 2002. - С. 311.
2. Саати Т.Л. Принятие решений. Метод анализа иерархий. - М.: Радио и связь, 1993. - 511 с.
3. Саати Т.Л., Кернс К. Аналитическое планирование. Организация систем. - М.: Радио и связь, 1991. - 256 с.
4. Эллерман Д. Математические методы в оценке недвижимости. - Ин-т экономич. развития, Всемирный банк. - Апрель 1994. - С. 35.

Графические оболочки

• Tutorial

Это 4-я статья цикла по разработке, управляемой моделями. В предыдущих статьях мы познакомились с , и . Сегодня научимся описывать метамодели в текстовой нотации (а не в виде диаграмм как раньше) и познакомимся с табличным представлением моделей в Sirius. Сделаем это на примере кризиса среднего возраста и метода анализа иерархий. Возможно, это пригодится вам при разработке ИИ в играх, при принятии решений или в работе.

Введение

Вообще, я планировал статью про разработку DSL и преобразование моделей. Но мои планы внезапно нарушили мысли о смысле жизни, о том, тем ли я вообще занимаюсь.

Самое очевидное, что может при этом сделать специалист по разработке, управляемой моделями, это

• Выбрать метод, который позволит получить интересующие ответы (раздел 1)
• Создать метамодель под этот метод (раздел 2)
• Создать инструмент разработки моделей в соответствии с метамоделью (раздел 3)
• Создать модель (раздел 4)
• Profit

Именно этим мы и займемся.

1 Метод анализа иерархий

Меня интересовали следующие вопросы:

• Чем мне интересно заниматься?
• Достаточно ли времени я уделяю интересным вещам?
• Что можно изменить в жизни к лучшему?
• Не станет ли от этих изменений хуже?

Когда я учился в вузе, для получения ответов на разные вопросы мы использовали метод анализа иерархий . Суть метода следующая.

1. Вы определяете
   • цель,
   • критерии достижения цели и
   • возможные альтернативы.
2. Оцениваете значимость критериев.
3. Оцениваете альтернативы по каждому из критериев.
4. Рассчитываете приоритеты альтернатив.
5. Принимаете решение.

Более подробно этот метод описан в книге Томаса Саати «Принятие решений. Метод анализа иерархий» (она легко гуглится). Кстати, в ней много примеров от психологии до мировой экономики.

1.1 Построение иерархии

Итак, в простейшем случае иерархия должна содержать цель, критерии и альтернативы.

Если суммировать все мои вопросы, то, по большому счету, меня интересует стоит ли мне сменить работу. Поэтому цель: выбрать работу .

При выборе работы меня интересует

• сколько денег я буду зарабатывать,
• на сколько интересно мне будет этим заниматься,
• будет ли у меня время на жизнь,
• карьерные перспективы,
• смогу ли я бывать на природе или буду видеть солнце и деревья раз в год,
• на сколько близка мне культура коллег, соседей и остальных людей.

При этом возможны следующие альтернативы:

• ничего не менять,
• переехать в Москву,
• переехать за границу,
• заняться фрилансом или каким-нибудь предпринимательством.

В соответствии с методом анализа иерархий строится следующая иерархия:

1.2 Оценка критериев

У разных людей при принятии решений могут быть примерно одинаковые критерии. Однако, их значимость может сильно различаться. Кто-то работает в большей степени ради денег, кто-то ради интереса, кому-то просто нравится общаться с коллегами и т.д.

В соответствии со своими приоритетами один человек не раздумывая выберет более денежную работу, а другой – более интересную. Не существует работы, которая по всем критериям подходит абсолютно всем.

Наверное, при принятии решений большинство людей в явной или неявной форме ранжируют критерии от самого значимого до самого незначительного. Последние отбрасывают, а по первым сравнивают возможные альтернативы. На каждую возможную работу они навешивают ярлычок: вот, эта работа более денежная, но не интересная, а эта интересная и коллектив там хороший, но сомнительные карьерные перспективы и т.д.

Если сходу не получается сделать выбор, то человек начинает переоценивать критерии: может быть интерес пока не так важен и в пробке можно лишние два часа постоять, зато там больше зарплата, вот, выплачу ипотеку и займусь чем-то интересным.

Подобные рассуждения могут продолжаться долго, мучительно и без гарантии, что в итоге действительно будет принято оптимальное решение.

В методе анализа иерархий предлагается формальный алгоритм принятия подобных решений: все критерии попарно сравниваются друг с другом по шкале от 1 до 9.

Например, что для меня важнее: интерес или деньги? Интерес важнее, но не сказать, что очень сильно. Если максимальная оценка 9 к 1, то для себя я оцениваю приоритеты как 5 к 1.

Или, например, что важнее: деньги или наличие времени для жизни, хобби? Готов ли я ради дополнительных денег работать в выходные или стоять по два часа в пробках? Я для себя оцениваю значимость этих критериев как 1 к 7.

В итоге заполняется подобная таблица:

Очевидно, что по диагонали всегда будут единицы. Также очевидно, что все оценки будут обратно-симметричны относительно главной диагонали. Например, если я оцениваю значимость «интерес-деньги» как 5 к 1, то значимость «деньги-интерес» будет 1 к 5. Иногда такие матрицы называют обратно-симметричными.

В общем случае, если мы сравниваем N критериев, то необходимо сделать (N*(N-1))/2 сравнений. Казалось бы, всё только усложнилось. Если изначально было 6 критериев, то сейчас целая матрица каких-то чисел. Чтобы снова вернуться к критериям, рассчитаем собственный вектор матрицы. Элементы этого вектора и будут относительной значимостью каждого критерия.

В книге Томаса Саати предлагается несколько упрощенных методов расчета собственного вектора в уме или на бумаге. Мы воспользуемся более точным итеративным алгоритмом :

N = количество критериев m = матрица оценок размерностью NxN eigenvector = вектор размерностью N, заполненный значениями 1/N Повторяем пока eigenvalue не начнет сходиться к определенному значению или пока не сделаем максимально допустимое количество итераций x = m * eigenvector eigenvalue = sum(x) eigenvector = x / eigenvalue
В итоге получаем следующий вектор:
Наиболее значимый критерий – время (0,3846), наименее значимый – карьера (0,0555).

При парных сравнениях некоторые оценки могут получиться несогласованными. Например, для меня интерес важнее денег, а деньги важнее карьеры. Очевидно, что интерес должен быть существенно важнее карьеры. В данной таблице так и есть. Но если бы оценка для «интерес-карьера» была меньшей или вообще обратной, то мои оценки были бы не согласованы между собой.

Оценить меру этой несогласованности поможет собственное значение матрицы сравнений. Оно равно 6,7048.

Очевидно, что собственное значение пропорционально количеству критериев. Чтобы оценка согласованности не зависела от количества критериев, рассчитывается так называемый индекс согласованности = (собственное значение - N) / (N - 1).

Наконец, чтобы оценка была совсем объективной необходимо разделить данный индекс на усредненный индекс согласованности для случайных матриц. Если полученная величина (отношение согласованности) меньше 0,1000, то парные сравнения можно считать более-менее согласованными. В нашем примере оно равно 0,1137, это значит, что рассчитанным приоритетам можно более-менее доверять.

1.3 Оценка альтернатив

Теперь необходимо сравнить все альтернативы по каждому из критериев.

Например, при переезде в Москву я существенно выиграю в зарплате. Но работа, скорее всего, будет менее интересная, а также будет оставаться меньше времени для жизни. Или при переезде за границу мне придется отказаться от своего языка, подстраиваться под чужие культурные ценности.

По каждому критерию рассчитывается собственный вектор и отношение согласованности.

Полученные собственные векторы записаны в столбцах:

Отношения согласованности по каждому критерию записаны в следующем векторе:
[ 0,0337; 0,0211; 0,1012; 0,1399; 0,1270; 0,9507 ]
Большинство значений меньше или незначительно превышают 0,1000. Однако для критерия «культура» отношение согласованности получилось очень большое. Это связано с тем, что я неправильно расставил часть оценок. Хотел поставить 7 для «ничего не менять – переехать за границу», потому что жить в родном городе гораздо комфортнее. Но по ошибке поставил 1/7.

1.4 Определение приоритетов альтернатив

Итак, мы оценили критерии, навесили на каждую альтернативу ярлычок: какой вариант более денежный, какой более интересный и т.д. Теперь необходимо оценить альтернативы по всем критериям в сумме. Для этого достаточно умножить матрицу

На вектор
[ 0,0592; 0,2323; 0,3846; 0,0555; 0,1220; 0,1462 ]
В итоге мы получим следующий вектор:
[ 0,3184; 0,1227; 0,2049; 0,3540 ]
Это и есть значимости альтернатив относительно достижения цели.

1.5 Принятие решения

Теперь изобразим все рассчитанные значения на следующем рисунке:

В скобках указано отношение согласованности оценок.

Толщина линий пропорциональна приоритетам. Наиболее интересна и перспективна в плане карьеры текущая работа. Фриланс позволил бы больше бывать на природе и больше времени тратить на жизнь. Более денежная работа в Москве и заграницей.

Видно, что Москва совсем отпадает. Заграница чуть лучше, но тоже не очень. Ничего не менять и фриланс примерно на одном уровне.

2 Создание метамодели

Теперь опишем как всё это рисуется и считается.

Сначала необходимо описать метамодель: виды сущностей, которые используются в методе анализа иерархий. Причем, в отличие от мы не будем рисовать метамодель в виде диаграммы, а опишем её в текстовой нотации Xcore.

Остановимся только на самых интересных вещах. Xcore в отличие от Ecore позволяет описывать не только структуру модели, но и некоторую логику на Java-подобном языке. Опишем, например, тип данных для хранения оценок. Положительные оценки будем хранить в виде положительных целых чисел. А обратные оценки вида 1/n будем хранить как -n. Мы могли бы хранить оценки в виде строк или в виде действительных чисел, но, наверное, это плохая идея.

При этом нам нужны две функции для преобразования оценок из или в строковое представление. На Xcore это будет выглядеть так:

Type Weight wraps int create { if (it.matches("\\d+")) { Integer.parseInt(it) } else if (it.matches("1\\s*/\\s*\\d+")) { val result = Integer.parseInt(it.replaceFirst("1\\s*/\\s*", "")) if (result <= 1) 1 else -result } else { throw new NumberFormatException("The weight must be either n or 1/n") } } convert { if (it >= 1) { it.toString } else if (it >= -1) { "1" } else { "1/" + (-it).toString } }
Xcore позволяет описывать также и относительно сложную логику.

Вот, например, операция расчета приоритетов в иерархии.

class Hierarchy { op void updatePriorities() { priorities.clear inconsistencies.clear val mat = new JudgmentMatrix(criteria) val criteriaJudgments = judgments.filter(typeof(CriterionJudgment)).filter(cj | cj.goal == goal) for (judgment: criteriaJudgments) { mat.set(judgment.first, judgment.second, judgment.weight) } for (criterion: criteria) { val GoalCriterionPriority priority = AHPFactory.eINSTANCE.createGoalCriterionPriority priority.goal = goal priority.criterion = criterion priority.value = mat.findEigenvectorElement(criterion) priorities.add(priority) } val goalInconsistency = AHPFactory.eINSTANCE.createGoalInconsistency goalInconsistency.goal = goal goalInconsistency.value = mat.inconsistency inconsistencies.add(goalInconsistency) val mat2 = new Matrix(alternatives.size, criteria.size) criteria.forEach ] val mat4 = mat2.multiply(mat.eigenvector) alternatives.forEach } }

Наконец, для Xcore-модели (как и для Ecore-модели) вы можете создать диаграмму классов.

Так выглядит метамодель для метода анализа иерархий. Это максимально упрощенный вариант. А в общем случае, иерархия может содержать более трех уровней (например, у критериев могут быть подкритерии). Матрицы связей между уровнями могут быть разреженными. Оценки могут ставить несколько экспертов, а не один.

Так выглядит спецификация редактора диаграмм и таблиц:

Так выглядит результирующий редактор:

Совсем декларативно описать редактор иерархий не получилось, пришлось писать расширения на Java. Думаю, стоит остановиться на этом немного подробней. В Sirius есть по крайней мере два варианта расширений: службы (service) и действия (action).

С помощью служб вы можете добавить классам из метамодели некоторые дополнительные операции. Например, следующие две операции соответственно форматируют приоритет и рассчитывают толщину связей между критериями и альтернативами.

Public class Service { public String toString(Priority priority) { return String.format("%.4f", priority.getValue()); } public int getEdgeWidth(Alternative alternative, EdgeTarget targetView) { DSemanticDecorator targetNode = (DSemanticDecorator)targetView; Criterion criterion = (Criterion)targetNode.getTarget(); Priority priority = alternative.getPriority(criterion); return (int) (priority.getValue() * 7); } }
Удобно то, что эти операции вы можете использовать прямо в AQL-выражениях. Однако, вы не можете с их помощью изменять модель.

Для изменения модели нужно использовать Java-действия. Действия в отличие от служб уже не могут вызываться в AQL-выражениях. Их можно запускать, например, через контекстное меню или по нажатию кнопки. Действия можно откатывать с помощью команды Undo.